大數加減乘除,一文搞定!

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前言

大家好,我是bigsai!最近,大數加減頻頻登上筆試的舞台,小夥伴們在羣裏也分享自己遇到面試官碰到大數運算的題目,想着這麼重要而簡單的知識點我還沒寫過,那得好好和大家一起總結一下。

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各位有過分類刷題的小夥伴,可能看到很多人分類 字符串、貪心、動態規劃、bfs、dfs、大數、數論等,初聽大數,你可能會差異:大數是個啥?聽起來怪高大上的。

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大數,其實就是很大很大數字(可能遠超32、64位,基礎類型無法表示)的加減法,在Java中我們可以使用一個大數類(BigInteger等)很容易解決大數的各種運算,但如果遇到面試官他肯定會讓你手寫的。

這個數字一般用字符串、鏈表等形式表示、返回,大數運算的核心就是:模擬,模擬我們日常用紙筆算數字的加減乘除流程,然後再根據計算機、編程語言等特性適當存儲計算即可,不過,大數除法運算稍微特殊一點,和我們直接模擬的思維方式稍有不同。

大數加法

大數加法是最簡單的,簡單模擬即可。首先,我們想一下兩個數加法的流程:從右向左計算求和、進位,一直到最後。

在編程語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過程,不過在具體實現上需要注意一些細節。

1、枚舉字符串將其轉換程char[]提高效率

2、從右往左進行計算,可以將結果放到一個數組中最後組成字符串,也可以使用StringBuider拼接,拼接的時候最後要逆置一下順序。

3、餘數每次疊加過需要清零,兩數相加如果大於等於10即有餘數,添加到結果中該位置的數也應該是該數%10的結果。

4、計算完最後還要看看餘數是否為1,如果為1需要將其添加到結果,例如 "991"+"11"算三個位置為002但還有一個餘數需要添加,所以應該是1002

一個加法流程

當然在具體實現上方法較多,你可以首先就將字符串逆置然後從前往後就可以計算了。當然我這裏實現的是字符串從後向前各個位對應計算,然後將結果順序添加到StringBuilder上。

這題在力扣【415兩數相加】可以檢驗自己代碼,實現代碼為:

public String addStrings(String num1, String num2) {
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    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
    char ch1[]=num1.toCharArray();
    char ch2[]=num2.toCharArray();

    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int remainder =0;//計算餘數
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
        int num=n1+n2+remainder;//求和對應數字
        remainder=num/10;//是否進位
        sb.append(num%10);// 添加到結果字符串中
    }

    if(remainder>0)//是否還需要進位
    {
        sb.append(remainder);
    }
    //反裝即為結果
    return sb.reverse().toString();
}

大數減法

加法對應的就是減法,有了上面大數加法的實現思路,那麼我想你在大數減法也應該有點想法,但是減法和加法不同的是減法有位置的區別,加法需要進位而減法需要借位。並且大整正數減法可能產生正負也不一定。

兩個正數,如果大數減去小數,那麼一切正常,結果是一個正數;但如果小數減去大數,那麼結果將是一個負數,並且結果處理起來比較麻煩。 所以在這裏全部轉成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

減法轉成大-小

1、執行計算前首先比較減數(num1)和被減數(num2)的大小,如果num1>num2,那麼就模擬num1-num2的過程,如果num1<num2,那麼結果就為-(num2-num1) 。當然可以為了穩定模擬時候一個大一個小,可將num1始終指向較大的那個數,少寫一個if/else.

2、在比較兩個數字大小的時候,因為是字符形式,首先比較兩個字符串的長度,長的那個更大短的那個更小,如果兩個字符串等大,那麼就可以通過字典序從前往後進行比較(Java可直接使用compareTo方法)。

3、和加法不同的是,減法前面可能產生若干前綴0,這些0是需要你去掉的,例如"1100"-"1000"計算得到的結果位"0100",你就要吧前面的0去掉返回"100"

4、具體實現的時候和加法相似,如果使用StringBuilder存儲,需要逆置順序,如果是個負數,前面還要加上'-'.

5、每個位置正常進行減法運算,如果值小於0,那麼就需要向上借位(+10),那麼處理上一位進行減法時候還要將借位的處理一下。

一個減法大概流程

這題在力扣上沒有原題,但是可以在小米OJ【大數相減】上驗證自己代碼的正確性,具體實現的代碼為:

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
    if(num1.length()<num2.length())
        return  false;
    else if(num1.length()>num2.length())
        return true;
    else
        return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static  String subtractString(String num1,String num2) {
    char sign='+';//正負號
    //讓num1>num2 如果num1<num2 那麼結果就是—(num2-num1) 
    //可以先將num1和num2交換和前面情況統一
    if(!compare(num1,num2))
    {
        sign='-';
        String team = num2;
        num2 = num1;
        num1 = team;
    }
    int len1=num1.length()-1;
    int len2=num2.length()-1;

    char ch1[] = num1.toCharArray();
    char ch2[] = num2.toCharArray();
    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int borrow=0;//借位
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

        int num=n1-n2-borrow;
        borrow=0;
        if(num<0)//需要向前借位
        {
            borrow=1;
            num+=10;
        }
        sb.append(num);
    }

    sb=sb.reverse();//需要先翻轉
    int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
    {
        index++;
    }
    //如果兩個數相同 直接返回"0"
    if(index==sb.length())
        return "0";
    if(sign=='+')//如果正數 
        return  sb.substring(index);
    else  return sign+sb.substring(index);//負數需要返回
}

大數乘法

大數乘法乍一想可能比較複雜,因為乘法比起加法可能進位不光是1,還有兩個數各種位置都需要相乘計算,這時候就需要我們化繁為簡了。

多*多考慮起來可能有些麻煩,但是如果多*一考慮起來呢?如果是多位乘以一位數,那麼就拿一位的分別乘以多位數的個位、十位、百位,在計算的同時考慮一下進位的情況。

但是也可以先直接用int類型數組存儲各位的乘積然後從右向左進行進位,如下圖所示。

先計算後進位

多*多 也是這個道理,將不同位乘積先疊加到對應位置上,然後從右向左進位,一直到不需要進位為止。

一個乘法流程

你可能會疑問,如果兩個數組的長度分別為a和b這個數組到底該開多大呢

  • a+b大小就夠了,怎麼分析呢?其中一個a不變。另一個b變成最小b+1數字即十的倍數,那麼這樣在相乘的時候也不過是a+b長度,所以這裏a+b長度就夠了。

這題有力扣對應題可以去試試【43字符串相乘】,具體代碼位:

public String multiply(String num1, String num2) {
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
    char a[]=num1.toCharArray();
    char b[]=num2.toCharArray();
    
    int value[]=new int[a.length+b.length];
    
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
        {
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<value.length-1;i++)
    {
        value[i+1]+=value[i]/10;
        value[i]=value[i]%10;
    }
    int index=value.length-1;
    while(value[index]==0)
    {index--;}
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
    while (index>=0) {
        sBuilder.append(value[index--]);
    }
    return sBuilder.toString();
}

大數除法

大數加減乘都搞定了,通過模擬來實現,但是大數除法也通過模擬來實現?

並不是,對於大數a/b,一般最多要求求到其整數解或者餘數,即a/b=c……d(a,b,c,d均為整);也就是a裏面有c個b,並且還剩下d。核心是先求c是多少,對於程序來説,可以通過枚舉啊,將除法變成減法,從a中不斷減d,一直到不能減為止。

除法轉成減法運算

但是有個問題,如果被除數a很大很大,可能有居多個b,那麼這樣時間複雜度太高了,不可能執行那麼多次,那麼需要怎麼樣去優化這個方法呢?

那就要加速尋找次數,減少這個減法的次數了,減法次數減小的一個最好方案就是能不能擴大除數b。如果b後面加個'0',那麼算出來的結果就乘以10,減法的次數變成原來十分之一。根據這個思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(小於a)計算減的次數再換算成減b的總詞數,將結果要以字符串方式保留,後面一直迭代到最後為止,這雖然是一道除法運算的題,但是也藴涵減法和加法(次數疊加到結果中)。

優化思想

當然,也有一些人使用二分法來壓縮尋找可以被減的次數也是可以的(加法可以迭代數字實現二分倍數),具體實現的話也不是很困難,但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會讓你現場寫的,所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可。

當然,如果你依然很想看大數除法部分的代碼,可以百度搜一下或者在文末評論催更一下,如果有感興趣的可以後面把代碼補充上。

結語

到這裏,大數的加減乘除基本都講解完啦,不知道你有沒有收穫,因為這裏的大數都是用字符串的方式存儲和處理,遇到的最多,但是也可能遇到一些鏈表、數組等其他形式存儲的需要處理,但是整體的思想都是一樣的。

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