塵埃落定!一度沒人能看懂的600頁數學天書,終於正式發表

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望月新一(圖片來源:京都大學)

2012年,日本數學家望月新一(Shinichi Mochizuki)將4篇總篇幅超過600頁的論文掛到了自己的網站上。望月新一在論文中宣稱,他解決了當今數學界最大的難題之一——ABC猜想。然而,這600多頁的內容如同天書,在此後一段時間內幾乎沒有其他數學家能理解。

直到上週,經過7年半的審查,望月新一的論文終於迎來歸宿,正式發表於 《數理解析研究所公刊》 PRIMS )特刊電子版。不過,論文的釋出絕非終點,在這之後,更多同行將對這些充滿爭議的內容進行解讀、評判。而ABC猜想究竟是否已經被真正證明,也有待進一步檢驗。

撰文 |  達維德·卡斯泰爾韋基(Davide Castelvecchi)

編譯 | 吳非

30多年的猜想

望月新一試圖解決的ABC猜想,是一個有著超過30年曆史的數論難題。這個猜想揭示了整數加法與乘法之間的深刻聯絡。每個正整數都能唯一地表達為質數的乘積。現在,a、b、c是3個正整數,其中a + b = c。 如果a和b能分解為許多小的質數,那麼c就只能分解為寥寥可數的幾個大質數。

這個想法首先是由法國數學家約瑟夫·厄斯特勒(Joseph Oesterlé)在1985年的一次演講中提出的。厄斯特勒當時只是隨口一提,但在場的瑞士數學家戴維·馬瑟(David Masser)意識到,這個猜想可能非常重要,於是開始宣傳它的一種推廣形式。因此,ABC猜想也被稱作厄斯特勒-馬瑟猜想。

數年後,哈佛大學的數學家諾姆·埃爾奇斯(Noam Elkies)意識到,如果ABC猜想是正確的,它將會對整數方程研究領域產生深遠的影響—— 對ABC猜想的證明會一下子解決一長串著名的未解丟番圖方程。

如何理解ABC猜想的重要性呢?我們先來看此前丟番圖方程研究史上最重要的突破。美國數學家路易·莫德爾(Louis Mordell)曾在1922年提出了一個猜想,認為絕大部分丟番圖方程要麼沒有解,要麼只有有限個解;而莫德爾的猜想在1983年被德國數學家格爾德·法爾廷斯(Gerd Faltings)證明,他三年後因此獲得菲爾茲獎。而如果ABC猜想是正確的,你知道的就不僅僅是方程有多少個解,還能把它們全部列出來。

如果得到證實,這將會成為本世紀內最驚人的數學成就之一,也會在整數方程的研究中掀起一場徹底的變革。基於ABC猜想,還可能出現一種用於證明費馬大定理的全新方法。

苦戰十年

望月新一於1969年出生在東京,他在幼年時就被家人帶到美國。年僅16歲時,天賦異稟的望月新一就成為了普林斯頓大學數學系的本科生。很快,他就直接進入了博士階段的學習,而他的導師正是證明了莫德爾猜想的法爾廷斯。

1994年,在普林斯頓大學取得博士學位的望月新一回到日本,任職於數理解析研究所。此後幾年,他的一系列工作取得了國際聲譽。但到了21世紀初,望月新一卻將自己“封閉”在研究所內,不再參加國際會議,甚至很少離開京都。然而望月新一確實與其他數論學家保持著聯絡,他們知道望月新一的最終目標就是ABC猜想。他幾乎沒有競爭者:絕大部分數學家明確避開了這個問題,認為它過於棘手。

2012年8月30日,望月新一在網上公開了自己的證明。不過,他沒有選擇預印本網站,而是將論文悄悄地發在了數學科學研究所的網站上。這4篇論文不僅篇幅驚人,內容也令其他數學家頭疼不已——其中一些數學概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理論時,會使用令人震驚的、幾乎是以救世主自居的語言,他甚至將他創造的這個領域稱為“ 宇宙際幾何 ”。

美國威斯康星大學麥迪遜分校的數論學家喬丹·埃倫伯格(Jordan Ellenberg)這樣評價望月新一的論文:“就像是在讀來自未來或外太空的論文。”他的導師法爾廷斯也表示:“我嘗試讀了一部分,然後在某個階段,我放棄了。我不明白他在幹什麼”,並且批評他“沒有將想法更加清晰地表達出來”。

首先宣稱看懂這些證明性的,是英國諾丁漢大學的伊萬·費先科(Ivan Fesenko)。費先科仔細研究瞭望月新一的工作,並在2014年拜訪望月新一聲稱,他已經驗證了證明的正確性。統括宇宙際幾何的主題,如費先科所述,就是我們必須以另一個角度看待整數——將加法放在一旁,將乘法看成某種可以延伸變化的結構。標準的乘法將會成為一類結構中的特殊情況,就像圓是橢圓的特殊情況。但對於絕大多數數學家來說,這些論文依舊是“天書”,望月新一的猜想一度陷入了僵局。

缺陷無法修復?

2017年12月,日本《朝日新聞》報道稱,望月新一的論文已經被雜誌正式接收,當時就有訊息稱接收這些論文的正是望月新一擔當主編的 PRIMS ,不過 PRIMS 的編輯在當時對這一傳言予以否認。

幾個月後,望月新一的處境更加不妙。兩位德高望重的數學家——2018年菲爾茨獎得主,波恩大學的彼得·朔爾策(Peter Scholze)和歌德大學的雅各布·施蒂克斯(Jacob Stix)反駁瞭望月新一的證明,並指出其中一個具體的關鍵段落存在“無法修補的嚴重缺陷”。作為數論領域的權威,朔爾策在接受採訪時表示:“我認為ABC猜想依然是開放的,任何人都有機會證明這個猜想。”

2020年4月3日,望月新一在數理解析研究所的兩位同事召開新聞釋出會宣佈,望月新一關於ABC猜想的證明終於被學術期刊接收、即將正式發表,而接收這些論文的期刊正是 PRIMS

不過,論文被接收的訊息,似乎也沒有讓更多數學家轉移到望月新一的陣營。“我可以肯定地說,在2018年之後,學界的態度沒有太大的變化,”加州大學聖迭戈分校的數學家基蘭·凱德拉亞(Kiran Kedlaya)說。他曾花了數年時間,試圖證明ABC猜想。

需要指出的是,數學家在自己擔任編輯的學術期刊上發表論文,其實並不罕見。東京大學科維理物理和數學研究所的數學家中島啟(Hiraku Nakajima)說,只要作者回避同行評議流程,“這種情況沒有違背任何規則,也很常見。”

在數學界, 論文被接收通常並不是同行評議的終點,只有在同行達成共識後,結論才能稱得上真正成立。 而這個過程,可能需要花費數年時間。

對於望月新一的工作來說,“結果不會是要麼完全正確,要麼毫無可取之處。”埃倫貝格說。即使ABC猜想的證明沒有實現,他的方法與觀念仍能夠緩慢滲透到整個數學界,研究者可能會發現它們在別的方面有用。“基於我對望月新一的瞭解,我的確認為這些檔案中極有可能包含著有趣或者重要的數學。”埃倫貝格說。

但事情也有向另一個方向發展的風險,埃倫貝格補充道:“我想,如果我們將它忘記,那可就太糟糕了。”

參考連結:

https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/

《給宇宙帶來革命的數學證明?》( 《環球科學》2015年12期)

《環球科學》3月新刊上市

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