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🍊往期回顧：凸優化理論基礎1--仿射集

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凸優化理論基礎2——凸集和錐

​ 之前我已經介紹過仿射集的概念了，自認為講的還算清楚，閱讀此篇文章前建議先了解仿射集的相關概念🥗🥗🥗

凸集

• 定義

  定義：集合C為凸集等價為$\Leftrightarrow$C中任意兩點間的線段仍然在C中，即對任意的$x_1,x_2 \in C$ 和滿足 $0 \le \theta \le 1$ 都有$\theta x_1 +(1- \theta)x_2 \in C$。

  我們在學習相關概念的時候一定要學會對比著學習，凸集從概念上和仿射集是非常相近的，仿射集要求C中任意兩點的直線仍然在C中，而凸集只需要求任意兩點間的線段仍然在C中，也即凸集對$\theta$有一定的限制。從這個定義的差別來看，其實我們就能夠得到一個結論：==仿射集一定是凸集。==

• 例子

  凸集我認為是非常容易理解的，下面的三個例子根據凸集的定義也很好判斷是否為凸集🍉🍉🍉

凸組合

  和仿射組合的概念類似，我們稱 $\theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k$ 為點 $x_1 , \cdots ,x_k$ 的一個凸組合。其中 $\theta_1 + \cdots +\theta_k=1$ 且 $\theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k$。同樣的，類似於仿射組合，一個集合是凸集合等價於集合包含其中所有點的凸組合。【注意：這裡的$\theta _i \ge 0$是凸組合所有的條件，在仿射組合中沒有，這一條件就保證了$0\le\theta \le1$】

 

凸包

  我們稱集合C中所有點的凸組合的集合為凸包，記為$convC$。凸包總是凸的，它包含了C的最小的凸集。如果B是包含C的凸集，那麼$convC \subseteq B$ 。這裡給出一些凸包的例子供大家理解🥂🥂🥂【注意凸集的凸包就是其本身】

錐和凸錐

  如果對於任意的$x \in C$ 和 $\theta \ge 0$ 都有 $\theta x \in C$ ,我們稱集合C是錐。【可以看出齊次方程組 $AX=0$ 的解為錐】

  如果集合C是錐，並且C的凸的，則稱C為凸錐，即對任意的 $x_1,x_2 \in C$ 和 $\theta_1,\theta_2 \ge 0$ ,都有 $\theta_1x_1+\theta_2x_2 \in C$ 。從幾何上來看，凸錐構成了一個扇形，扇形以0為頂點，兩邊分別通過$x_1$和$x_2$ ，如下圖所示：

 

錐組合

​  具有 $\theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k ，\theta _i \ge 0 ,i=1, \cdots ,k$ 形式的點稱為 $x_1 , \cdots ,x_k$ 的一個錐組合。如果$x_i$均屬於凸錐C，那麼$x_i$ 的每一個錐組合也在C中，也即集合C是凸錐的充要條件是它包含其元素的所有錐組合。

 

錐包

  集合C的錐包是C中元素的所有錐組合的集合，錐包是包含C的最小的最小的凸錐。這裡給出一些錐包的例子供大家理解🥂🥂🥂

 

重要例子

圖片來源於書籍凸優化中文版

   

凸集、凸錐、仿射集三者關係圖

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