本文分享自華為雲社群《[Python影象處理] 二十三.傅立葉變換之高通濾波和低通濾波》，作者：eastmount 。

一.高通濾波

傅立葉變換的目的並不是為了觀察影象的頻率分佈（至少不是最終目的），更多情況下是為了對頻率進行過濾，通過修改頻率以達到影象增強、影象去噪、邊緣檢測、特徵提取、壓縮加密等目的。

過濾的方法一般有三種：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、帶通（Band-pass）。所謂低通就是保留影象中的低頻成分，過濾高頻成分，可以把過濾器想象成一張漁網，想要低通過濾器，就是將高頻區域的訊號全部拉黑，而低頻區域全部保留。例如，在一幅大草原的影象中，低頻對應著廣袤且顏色趨於一致的草原，表示影象變換緩慢的灰度分量；高頻對應著草原影象中的老虎等邊緣資訊，表示影象變換較快的灰度分量，由於灰度尖銳過度造成高通濾波器是指通過高頻的濾波器，衰減低頻而通過高頻，常用於增強尖銳的細節，但會導致影象的對比度會降低。該濾波器將檢測影象的某個區域，根據畫素與周圍畫素的差值來提升畫素的亮度。圖展示了“Lena”圖對應的頻譜影象，其中心區域為低頻部分。

接著通過高通濾波器覆蓋掉中心低頻部分，將255兩點變換為0，同時保留高頻部分，其處理過程如下圖所示。

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

通過高通濾波器將提取影象的邊緣輪廓，生成如下圖所示影象。

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2 as cv
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv.imread('Lena.png', 0)

#傅立葉變換
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)

#設定高通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0

#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
iimg = np.fft.ifft2(ishift)
iimg = np.abs(iimg)

#顯示原始影象和高通濾波處理影象
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如下圖所示，第一幅圖為原始“Lena”圖，第二幅圖為高通濾波器提取的邊緣輪廓影象。它通過傅立葉變換轉換為頻譜影象，再將中心的低頻部分設定為0，再通過傅立葉逆變換轉換為最終輸出影象“Result Image”。

二.低通濾波

低通濾波器是指通過低頻的濾波器，衰減高頻而通過低頻，常用於模糊影象。低通濾波器與高通濾波器相反，當一個畫素與周圍畫素的插值小於一個特定值時，平滑該畫素的亮度，常用於去燥和模糊化處理。如PS軟體中的高斯模糊，就是常見的模糊濾波器之一，屬於削弱高頻訊號的低通濾波器。

下圖展示了“Lena”圖對應的頻譜影象，其中心區域為低頻部分。如果構造低通濾波器，則將頻譜影象中心低頻部分保留，其他部分替換為黑色0，其處理過程如圖所示，最終得到的效果圖為模糊影象。

那麼，如何構造該濾波影象呢？如下圖所示，濾波影象是通過低通濾波器和頻譜影象形成。其中低通濾波器中心區域為白色255，其他區域為黑色0。

低通濾波器主要通過矩陣設定構造，其核心程式碼如下：

rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2)
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

通過低通濾波器將模糊影象的完整程式碼如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

#讀取影象
img = cv2.imread('lena.bmp', 0)

#傅立葉變換
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
fshift = np.fft.fftshift(dft)

#設定低通濾波器
rows, cols = img.shape
crow,ccol = int(rows/2), int(cols/2) #中心位置
mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

#掩膜影象和頻譜影象乘積
f = fshift * mask
print f.shape, fshift.shape, mask.shape
#傅立葉逆變換
ishift = np.fft.ifftshift(f)
iimg = cv2.idft(ishift)
res = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])

#顯示原始影象和低通濾波處理影象
plt.subplot(121), plt.imshow(img, 'gray'), plt.title('Original Image')
plt.axis('off')
plt.subplot(122), plt.imshow(res, 'gray'), plt.title('Result Image')
plt.axis('off')
plt.show()

輸出結果如圖所示，第一幅圖為原始“Lena”圖，第二幅圖為低通濾波器模糊處理後的影象。

參考文獻：

• 《數字影象處理》（第3版），岡薩雷斯著，阮秋琦譯，電子工業出版社，2013年.
• 《數字影象處理學》（第3版），阮秋琦，電子工業出版社，2008年，北京.
• 《OpenCV3程式設計入門》，毛星雲，冷雪飛，電子工業出版社，2015，北京.
• 百度百科-傅立葉變換
• 網易雲課堂-高登教育 Python+OpenCV影象處理

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