如何使用并查集解决朋友圈问题?

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前言

大家好,我是小彭。

今天分享到的是一种相对冷门的数据结构 —— 并查集。虽然冷门,但是它背后体现的算法思想却非常精妙,在处理特定问题上能做到出奇制胜。那么,并查集是用来解决什么问题的呢?


学习路线图:


1. 认识并查集

除了并查集之外,不相交集合(Disjoint Sets)、合并-查找集合(Merge-find Set)、联合-查询数据结构(Union-find Data Structure)、联合-查询算法(Union-find algorithm),均表示相同的数据结构或思想。

1.1 并查集用于解决什么问题?

并查集是一种用来高效地判断 “动态连通性 ” 的数据结构: 即给定一个无向图,要求判断某两个元素之间是否存在相连的路径(连通),这就是连通问题,也叫 “朋友圈” 问题。听起来有点懵,你先别着急哈,咱来一点一点地把这个知识体系建立起来。

先举个例子,给定一系列航班信息,问是否存在 “北京” 到 “广州” 的路径,这就是连通性问题。而如果是问 “北京” 到 “广州” 的最短路径,这就是路径问题。并查集是专注于解决连通性问题的数据结构,而不关心元素之间的路径与距离,所以最短路径等问题就超出了并查集的能够处理的范围,不是它考虑的问题。

连通问题与路径问题示意图

另一个关键点是,并查集也非常适合处理动态数据的连通性问题。 因为在完成旧数据的处理后,旧数据的连通关系是记录在并查集中的。即使后续动态增加新的数据,也不需要重新检索整个数据集,只需要将新数据提供的信息补充到并查集中,这带有空间换时间的思想。

动态连通问题

理解了并查集的应用场景后,下面讨论并查集是如何解决连通性的问题。

1.2 并查集的逻辑结构

既然要解决连通性问题,那么在并查集的逻辑结构里,就必须用某种方式体现出两个元素或者一堆元素之间的连接关系。那它是怎么体现的呢 —— 代表元法。

并查集使用 “代表元法” 来表示元素之间的连接关系:将相互连通的元素组成一个子集,并从中选取一个元素作为代表元。而判断两个元素之间是否连通,就是判断它们的代表元是否相同,代表元相同则说明处于相同子集,代表元不同则说明处于不同的子集。

例如,我们将航班信息构建为并查集的数据结构后,就有 “重庆” 和 “北京” 两个子集。此时,问是否存在 “北京” 到 “广州” 的路径,就是看 “北京” 和 “广州” 的代表元是否相同。可见它们的代表元是相同的,因此它们是连通的。

并查集的逻辑结构和物理结构

理解了并查集的逻辑结构后,下面讨论如何用代码实现并查集。

1.3 并查集的物理结构

并查集的物理结构可以是数组,亦可以是链表,只要能够体现节点之间连接关系即可。

  • 链表实现: 为每个元素创建一个链表节点,每个节点持有指向父节点的指针,通过指针的的指向关系来构建集合的连接关系,而根节点(代表元)的父节点指针指向节点本身;
  • 数组实现: 创建与元素个数相同大小的数组,每个数组下标与每个元素一一对应,数组的值表示父节点的下标位置,而根节点(代表元)所处位置的值就是数组下标,表示指向本身。

数组实现相对于链表实现更加常见,另外,在数组的基础上还衍生出散列表的实现,关键看元素个数是否固定。例如:

提示: 我们这里将父节点指向节点本身定义为根节点,也有题解将父节点指向 null 或者 -1 的节点定义为根节点。两种方法都可以,只要能够区分出普通节点和根节点。但是指向节点本身的写法更简洁,不需要担心 Union(x, x) 出现死循环。

以下为基于数组和基于散列表的代码模板:

基于数组的并查集

kotlin // 数组实现适合元素个数固定的场景 class UnionFind(n: Int) { // 创建一个长度为 n 的数组,每个位置上的值初始化数组下标,表示初始化时有 n 个子集 private val parent = IntArray(n) { it } ... }

基于散列表的并查集

```kotlin // 散列表实现适合元素个数不固定的场景 class UnionFind() { // 创建一个空散列表, private val parent = HashMap()

// 查询操作
fun find(x: Int): Int {
    // 1. parent[x] 为 null 表示首次查询,先加入散列表中并指向自身
    if (null == parent[x]) {
        parent[x] = x
        return x
    }
    // 下文说明查询操作细节...
}

} ```


2. 并查集的基本概念

2.1 合并操作与查询操作

“并查集,并查集”,顾名思义并查集就是由 “并” 和 “查” 这两个最基本的操作组成的:

  • Find 查询操作: 沿着只用链条找到根节点(代表元)。如果两个元素的根节点相同,则说明两个元素是否属于同一个子集,否则属于不同自己;
  • Union 合并操作: 将两个元素的根节点合并,也表示将两个子集合并为一个子集。

例如,以下是一个基于数组的并查集实现,其中使用 Find(x) 查询元素的根节点使用 Union(x, y) 合并两个元素的根节点:

基于数组的并查集

```kotlin class UnionFind(n: Int) {

// 创建一个长度为 n 的数组,每个位置上的值初始化数组下标,表示初始化时有 n 个子集
val parent = IntArray(n) { it }

// 查询操作(遍历写法)
fun find(x: Int): Int {
    var key = x
    while (key != parent[key]) {
        key = parent[key]
    }
    return key
}

// 合并操作
fun union(x: Int, y: Int) {
    // 1. 分别找出两个元素的根节点
    val rootX = find(x)
    val rootY = find(y)
    // 2. 任意选择其中一个根节点成为另一个根节点的子树
    parent[rootY] = rootX
}

// 判断连通性
fun isConnected(x: Int, y: Int): Boolean {
    // 判断根节点是否相同
    return find(x) == find(y)
}

// 查询操作(递归写法)
fun find(x: Int): Int {
    var key = x
    if (key != parent[key]) {
        return find(parent[key])
    }
    return key
}

} ```

合并与查询示意图

2.2 连通分量

并查集的连通分量,表示的是整个并查集中独立的子集个数,也就是森林中树的个数。要计算并查集的连通分量,其实就是在合并操作中维护连通分量的计数,在合并子集后将计数减一。

```kotlin class UnionFind(n: Int) {

private val parent = IntArray(n) { it }

// 连通分量计数,初始值为元素个数 n
var count = n

// 合并操作
fun union(x: Int, y: Int) {
    val rootX = find(x)
    val rootY = find(y)
    if(rootX == rootY){
        // 未发生合并,则不需要减一
        return
    }
    // 合并后,连通分量减一
    parent[rootY] = rootX
    count --
}
...

} ```

连通分量示意图


3. 典型例题 · 等式方程的可满足性

理解以上概念后,就已经具备解决连通问题的必要知识了。我们看一道 LeetCode 上的典型例题: LeetCode · 990.

LeetCode 例题

我们可以把每个变量看作看作一个节点,而等式表示两个节点相连,不等式则表示两个节点不相连。那么,我们可以分 2 步:

  • 1、先遍历所有等式,将等式中的两个变量合并到同一个子集中,最终构造一个并查集;
  • 2、再遍历所有不等式,判断不等式中的两个变量是否处于同一个子集。是则说明有冲突,即等式方程不成立。

—— 图片引用自 LeetCode 官方题解

题解示例如下:

题解

```kotlin // 未优化版本 class Solution { fun equationsPossible(equations: Array): Boolean { // 26 个小写字母的并查集 val unionFind = UnionFind(26)

    // 合并所有等式
    for (equation in equations.filter { it[1] == '=' }) {
        unionFind.union(equation.first(), equation.second())
    }
    // 检查不等式是否与连通性冲突
    for (equation in equations.filter { it[1] == '!' }) {
        if (unionFind.isConnected(equation.first(), equation.second())) {
            return false
        }
    }
    return true
}

private fun String.first(): Int {
    return this[0].toInt() - 97
}

private fun String.second(): Int {
    return this[3].toInt() - 97
}

private class UnionFind() {
    // 代码略
}

} ```


4. 并查集的优化

前面说到并查集逻辑上是一种基于森林的数据结构。既然与树有关,我们自然能想到它的复杂度就与树的高度有关。在极端条件下(按照特殊的合并顺序),有可能出现树的高度恰好等于元素个数 n 的情况,此时,单次 Find 查询操作的时间复杂度就退化到 $O(n)$。

那有没有优化的办法呢?

4.1 父节点重要吗?

在介绍具体的优化方法前,我先提出来一个问题:在已经选定集合的代表元后,一个元素的父节点是谁还重要吗?答案是不重要。

因为无论父节点是谁,最终都是去找根节点的。至于中间是经过哪些节点到达根节点的,这个并不重要。举个例子,以下 3 个并查集是完全等价的,但明显第 3 个并查集中树的高度更低,查询的时间复杂度更好。

父节点并不重要

理解了这个点之后,再理解并查集的优化策略就容易了。在并查集里,有 2 种防止链表化的优化策略 —— 路径压缩 & 按秩合并。

4.2 路径压缩(Path Compression)

路径压缩指在查询的过程中,逐渐调整父节点的指向,使其指向更高层的节点,使得很多深层的阶段逐渐放到更靠近根节点的位置。 根据调整的激进程度又分为 2 种:

  • 隔代压缩: 调整父节点的指向,使其指向父节点的父节点;
  • 完全压缩: 调整父节点的指向,使其直接指向根节点。

路径压缩示意图

路径压缩示例程序

```kotlin // 遍历写法 fun find(x: Int): Int { var key = x while (key != parent[key]) { parent[key] = parent[parent[key]] key = parent[key] } return key }

// 递归写法 fun find(x: Int): Int { var key = x if (key != parent[key]) { parent[key] = find(parent[key]) return parent[key] } return key } ```

4.3 按秩合并(Union by Rank)

第 2.1 节 提到合并操作时,我们采取的合并操作是相对随意的。我们在合并时会任意选择其中一个根节点成为另一个根节点的子树,这就有可能让一棵较大子树成为较小子树的子树,使得树的高度增加。

而按秩合并就是要打破这种随意性,在合并的过程中让较小的子树成为较大子树的子树,避免合并以后树的高度增加。 为了表示树的高度,需要维护使用 rank 数组,记录根节点对应的高度。

按秩合并示意图

按秩合并示例程序

```kotlin private class UnionFind(n: Int) { // 父节点 private val parent = IntArray(n) { it }

// 节点的高度
private val rank = IntArray(n) { 1 }

// 连通分量
var count = n
    private set

// 查询(路径压缩)
fun find(x: Int): Int {
    var key = x
    while (key != parent[key]) {
        parent[key] = parent[parent[key]]
        key = parent[key]
    }
    return key
}

// 合并(按秩合并)
fun union(key1: Int, key2: Int) {
    val root1 = find(key1)
    val root2 = find(key2)

    if (root1 == root2) {
        return
    }
    if (rank[root1] > rank[root2]) {
        // root1 的高度更大,让 root2 成为子树,树的高度不变
        parent[root2] = root1
    } else if (rank[root2] > rank[root1]) {
        // root2 的高度更大,让 root1 成为子树,树的高度不变
        parent[root1] = root2
    } else {
        // 高度相同,谁当子树都一样
        parent[root1] = root2
        // root2 的高度加一
        rank[root2]++
        //  或
        //  parent[root2] = root1
        //  rank[root1] ++
    }
    count--
}

} ```

4.4 优化后的时间复杂度分析

在同时使用路径压缩和按秩合并两种优化策略时,单次合并操作或查询操作的时间复杂度几乎是常量,整体的时间复杂度几乎是线性的。

以对 N 个元素进行 N - 1 次合并和 M 次查询的操作序列为例,单次操作的时间复杂度是 $O(a(N))$,而整体的时间复杂度是 $O(M·a(N))$。其中 $a(x)$ 是逆阿克曼函数,是一个增长非常非常慢的函数,只有使用那些非常大的 “天文数字” 作为变量 $x$,否则 $a(x)$ 的取值都不会超过 4,基本上可以当作常数。

然而,逆阿克曼函数毕竟不是常数,因此我们不能说并查集的时间复杂度是线性的,但也几乎是线性的。关于并查集时间复杂度的论证过程,具体可以看参考资料中的两本算法书籍,我是看不懂的。


5. 典型例题 · 岛屿数量(二维)

前面我们讲的是一维的连通性问题,那么在二维世界里的连通性问题,并查集还依旧好用吗?我们看 LeetCode 上的另一道典型例题: LeetCode · 200.

LeetCode 例题

这个问题直接上 DFS 广度搜索自然是可以的:遍历二维数组,每找到 1 后使用 DFS 遍历将所有相连的 1 消除为 0,直到整块相连的岛屿都消除掉,记录岛屿数 +1。最后,输出岛屿数。

用并查集的来解的话,关键技巧就是建立长度为 M * N 的并查集:遍历二维数组,每找到 1 后,将它与右边和下边的 1 合并起来,最终输出并查集中连通分量的个数,就是岛屿树。

并查集解法

```kotlin class Solution { fun numIslands(grid: Array): Int {

    // 位置
    fun position(row: Int, column: Int) = row * grid[0].size + column

    // 并查集
    val unionFind = UnionFind(grid)

    // 偏移量数组(向右和向下)
    val directions = arrayOf(intArrayOf(0, 1), intArrayOf(1, 0))

    // 边界检查
    fun checkBound(row: Int, column: Int): Boolean {
        return (row in grid.indices) and (column in grid[0].indices)
    }

    for (row in grid.indices) {
        for (column in grid[0].indices) {
            if ('1' == grid[row][column]) {
                // 消费(避免后续的遍历中重复搜索)
                grid[row][column] = '0'
                for (direction in directions) {
                    val newRow = row + direction[0]
                    val newColumn = column + direction[1]
                    if (checkBound(newRow, newColumn) && '1' == grid[newRow][newColumn]) {
                        unionFind.union(position(newRow, newColumn), position(row, column))
                    }
                }
            }
        }
    }
    return unionFind.count
}

private class UnionFind(grid: Array<CharArray>) {

    // 父节点
    private val parent = IntArray(grid.size * grid[0].size) { it }

    // 节点高度
    private val rank = IntArray(grid.size * grid[0].size) { 1 }

    // 连通分量(取格子 1 的总数)
    var count = grid.let {
        var countOf1 = 0
        for (row in grid.indices) {
            for (column in grid[0].indices) {
                if ('1' == grid[row][column]) countOf1++
            }
        }
        countOf1
    }
        private set

    // 合并(按秩合并)
    fun union(key1: Int, key2: Int) {
        val root1 = find(key1)
        val root2 = find(key2)
        if (root1 == root2) {
            // 未发生合并,则不需要减一
            return
        }
        if (rank[root1] > rank[root2]) {
            parent[root2] = root1
        } else if (rank[root2] > rank[root1]) {
            parent[root1] = root2
        } else {
            parent[root1] = root2
            rank[root2]++
        }
        // 合并后,连通分量减一
        count--
    }

    // 查询(使用路径压缩)
    fun find(x: Int): Int {
        var key = x
        while (key != parent[key]) {
            parent[key] = parent[parent[key]]
            key = parent[key]
        }
        return key
    }
}

} ```


6. 总结

到这里,并查集的内容就讲完了。文章开头也提到了,并查集并不算面试中的高频题目,但是它的设计思想确实非常妙。不知道你有没有这种经历,在看到一种非常美妙的解题 / 设计思想后,会不自觉地拍案叫绝,直呼内行,并查集就是这种。

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参考资料

  • 数据结构与算法分析 · Java 语言描述(第 8 章 · 不相互交集类)—— [美] Mark Allen Weiss 著
  • 算法导论(第 21 章 · 用于不相交集合的数据结构)—— [美] Thomas H. Cormen 等 著
  • 专题 · 并查集 —— LeetCode 出品
  • 题目 · 等式方程的可满足性 —— LeetCode 出品

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