857. 僱傭 K 名工人的最低成本 : 枚舉 + 優先隊列(堆)運用題

語言: CN / TW / HK

題目描述

這是 LeetCode 上的 857. 僱傭 K 名工人的最低成本 ,難度為 困難

Tag : 「枚舉」、「優先隊列(堆)」

n 名工人。 給定兩個數組  quality 和  wage ,其中, quality[i] 表示第  i 名工人的工作質量,其最低期望工資為  wage[i]

現在我們想僱傭 k 名工人組成一個工資組。在僱傭 一組 k 名工人時,我們必須按照下述規則向他們支付工資:

  • 對工資組中的每名工人,應當按其工作質量與同組其他工人的工作質量的比例來支付工資。
  • 工資組中的每名工人至少應當得到他們的最低期望工資。

給定整數 k ,返回 組成滿足上述條件的付費羣體所需的最小金額 。在實際答案的 $10^{-5}$ 以內的答案將被接受。。

示例 1:

輸入: quality = [10,20,5], wage = [70,50,30], k = 2

輸出: 105.00000

解釋: 我們向 0 號工人支付 70,向 2 號工人支付 35。

示例 2:

輸入: quality = [3,1,10,10,1], wage = [4,8,2,2,7], k = 3

輸出: 30.66667

解釋: 我們向 0 號工人支付 4,向 2 號和 3 號分別支付 13.33333。

提示:

  • $n = quality.length = wage.length$
  • $1 <= k <= n <= 10^4$
  • $1 <= quality[i], wage[i] <= 10^4$

枚舉 + 優先隊列(堆)

為了方便,我們令 qualityqswagews

從 $n$ 個工人中選 $k$ 個,使這 $k$ 個工人實際工資與其 $qs[i]$ 成比例,且實際工資不低於 $ws[i]$。

根據條件一,假設實際工資與能力值比值為 $t$,則所選工人的實際工資為 $qs[i] \times t$,再結合條件二可知 $qs[i] \times t >= ws[i]$,變形可得 $t >= \frac{ws[i]}{qs[i]}$。

那麼在選定若干工人的情況下,為使得總支出最小,我們可以取 $t$ 為所有被選工人中的最大 $\frac{ws[i]}{qs[i]}$ 即可。

因此最終的 $t$ 值必然是取自某個工人的實際比值 $\frac{ws[i]}{qs[i]}$,這引導我們可以通過「枚舉」哪個工人的實際比值為實際 $t$ 值來做。

假設我們已經預處理出所有工人的 $\frac{ws[i]}{qs[i]}$ 比值信息,並「從小到大」進行枚舉(該過程可看做是以比值信息作為維度來枚舉每個工人):假設當前處理到的比值為最終使用到的 $t$,我們能夠選的工人必然是在該工人的左邊(根據上述分析可知,被選的工人滿足 $\frac{ws[i]}{qs[i]} <= t$ 條件)。

因此,我們可以使用二維數組 ds 記錄下每個工人的 $\frac{ws[i]}{qs[i]}$ 比值信息:$ds[i][0] = \frac{ws[i]}{qs[i]}$,$ds[i][1] = i$。並對其進行排升序,枚舉每個工人的實際比值,同時動態維護枚舉過程中的最小 $k$ 個 $qs[i]$(使用「大根堆」處理),並使用單變量 tot 記錄當前堆中的 $qs[i]$ 總和,$tot \times \frac{ws[i]}{qs[i]}$ 即是以當前比值作為實際 $t$ 值時的總成本,在所有總成本中取最小值即是答案。

Java 代碼:

class Solution {
    public double mincostToHireWorkers(int[] qs, int[] ws, int k) {
        int n = qs.length;
        double[][] ds = new double[n][2];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ds[i][0] = ws[i] * 1.0 / qs[i]; ds[i][1] = i * 1.0;
        }
        Arrays.sort(ds, (a,b)->Double.compare(a[0], b[0]));
        PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
        double ans = 1e18;
        for (int i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
            int cur = qs[(int)ds[i][1]];
            tot += cur; q.add(cur);
            if (q.size() > k) tot -= q.poll();
            if (q.size() == k) ans = Math.min(ans, tot * ds[i][0]);
        }
        return ans;
    }
}

TypeScript 代碼:

function mincostToHireWorkers(qs: number[], ws: number[], k: number): number {
    const n = qs.length
    const ds: number[][] = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n; i++) ds.push([ws[i] / qs[i], i])
    ds.sort((a,b)=>a[0]-b[0])
    const q = new MaxPriorityQueue()
    let ans = 1e18
    for (let i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
        const cur = qs[ds[i][1]]
        tot += cur
        q.enqueue(cur)
        if (q.size() > k) tot -= q.dequeue().element
        if (q.size() == k) ans = Math.min(ans, tot * ds[i][0])
    }
    return ans
};
  • 時間複雜度:構造係數並排序複雜度為 $O(n\log{n})$;枚舉並計算答案複雜度為 $O(n\log{k})$。整體複雜度為 $O(n\log{n})$
  • 空間複雜度:$O(n)$

最後

這是我們「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.857 篇,系列開始於 2021/01/01,截止於起始日 LeetCode 上共有 1916 道題目,部分是有鎖題,我們將先把所有不帶鎖的題目刷完。

在這個系列文章裏面,除了講解解題思路以外,還會盡可能給出最為簡潔的代碼。如果涉及通解還會相應的代碼模板。

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