氫原子的波函式與能級如何求解?搜狐張朝陽詳解

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【TechWeb】6月12日訊息,如何求解氫原子薛定諤方程?原子核外的電子又是如何排布的?6月10日,《張朝陽的物理課》線下第五課開講,搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽將氫原子薛定諤方程分解為質心運動部分與相對運動部分來求解,其中相對運動部分的波函式又可進一步分為徑向波函式與角向波函式,通過逐步分離變數最終解得氫原子薛定諤方程,得到氫原子波函式以及量子化的能級,進而引出電子軌道概念並求得軌道半徑。

本節課還研究了氦、鋰等原子中電子間的排斥力和對核電荷的遮蔽作用,將氫原子問題擴充套件到多電子原子體系。最後通過一些例子,展現了從原子構成世間萬物的過程,從而顯示出核外電子排布在決定物質性質方面所起到的重要作用。

《張朝陽的物理課》的直播風格注重推導,通過一步一步詳盡的數學計算,推匯出相關的物理公式,把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。

在本次線下課中,張朝陽先利用分離變數法,將氫原子薛定諤方程的時間部分與空間部分分開,得到氫原子的定態薛定諤方程,通過選取質心座標與質心動量為新變數,將定態薛定諤方程化為質心運動部分與相對運動部分。

相對運動部分是關於氫原子內部結構的方程,轉換到直角座標系後,可以利用角動量算符平方的本徵方程將相對運動方程的徑向與角向分離。進一步利用角動量算符z分量的本徵方程,還能將角向部分的變數φ與θ分離求解,由波函式的物理性質得到分立的磁量子數以及分立的角動量,並求得角向波函式。

至於徑向運動方程,則需先分析解的漸近行為,把漸近部分分離出來後得到了一個適合冪級數解法的方程,代入冪級數的形式解,得到冪級數係數的遞推關係,最終求得氫原子的能量量子化條件,並給出了能級公式,同時給出了徑向波函式。

完成氫原子薛定諤方程的求解後,張朝陽計算了能級的簡併度並介紹電子軌道的概念,通過電子波函式匯出軌道的最概然半徑。隨後,張朝陽開始分析其它元素的核外電子排布,由於電子之間的排斥力,直接求解多電子體系的薛定諤方程是極其困難的,但電子的影響可化為哈密頓量中的有效勢,可以知道電子軌道仍有類似氫原子的形式,但由於電子對正電荷的遮蔽作用,會導此時的電子軌道以及其能級相比氫原子發生了變形。

為了展示這種變形如何產生,他先利用變分法分析了氦原子同一殼層的兩電子遮蔽作用,求出了其軌道半徑,隨後進一步分析了鋰原子的最外層電子受到內層電子的遮蔽作用,這樣就知道了同一殼層與不同殼層的電子遮蔽機制,更多元素的核外電子排布可以類比上述分析求得。最後張朝陽還講解了硼鋼強度硬的原因,藉此說明地球上萬物本質上可以通過它們的微觀結構以及原子核外電子的排布來理解。

截至目前,《張朝陽的物理課》已直播六十餘期,從去年11月開啟第一節物理直播課,他先是從經典物理學開始,科普了牛頓運動定律等;而後從經典物理的“兩朵烏雲”說起,向近現代物理過渡,探討了黑體輻射理論中的維恩公式、普朗克公式等知識。此後逐步進入量子力學領域,從基礎的薛定諤方程等理論內容,到氫原子波函式,再到氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。內容豐富、覆蓋廣泛,理論公式由淺入深、繁簡交融。

作為日常線上直播課的補充形式,《張朝陽的物理課》線下物理課也已開播了五期,線下課主要是往期線上課程內容的總結與深入探討,同時,線下課的互動性更強,關注度更高。在此前的線下課中,張朝陽在現場陸續分享了舉世聞名的方程E=mc²、經典波動方程與聲速的計算、量子力學等知識。

據瞭解,《張朝陽的物理課》於每週週五、週日中午12時在搜狐影片直播,網友可以在搜狐影片“關注流”中搜索“張朝陽”,觀看直播及往期完整影片回放。

除了《張朝陽的物理課》外,在直播方面,搜狐影片正持續打造知識直播平臺,邀請各個科學領域的頭部播主入駐,進行科普知識直播。包括中國運載火箭技術研究院專家錢航,直播講述航空航天事業發展史;北京交通大學理學院教師陳徵博士線上開課——“奇趣的科學實驗”;中國科學院基因組學博士、元碼基因創始人田埂講解基因組學與生活的緊密聯絡;天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎麼產生的”等。