使用機器學習探索純數學的新奇方式

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來源:原理

一個多世紀前,傳奇的印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)以其無與倫比的數學天賦震驚了整個數學界,他有着人類史上最偉大的數學直覺,能夠看到其他人無法看到的數學模式。在他的夢境中,常常出現這些具有抽象之美的數學模式。

自上世紀60年代以來,數學家開始用計算機生成的數據來尋找數學模式和公式,這種被稱為實驗數學的研究方法已經為我們帶來了許多可喜的成果。比如位列千禧年大獎難題之一的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想,就是其中最著名的一個例子。

其實,尋找模式在數學領域正變得越來越重要。現在,計算機能生產的數據比任何數學家一生所能研究的都要多;再加上存在一些數學家們想要研究,但又由於太過於高深莫測而導致推演無法直接進行的數學對象,使得數學的發展受到了制約。

許多研究人員寄希望於人工智能,希望它能以全新的方式增強數學家的直覺判斷。近年來,人工智能技術已經在涉及人類深層直覺的領域取得了突破,甚至在科學領域中的一些最難問題上也作出了進展。然而,它們在數學領域卻收效甚微,想要從計算機生成的數據中識別並發現模式,仍主要需依賴於數學家的洞察力。

現在,開發了包括AlphaGo等一系列人工智能系統的DeepMind團隊與幾位數學家一起,將人工智能應用在了兩個數學領域——拓撲學和表示論上。在一篇新發表於《自然》雜誌上的論文中,研究人員描述了他們如何通過研究機器學習識別數學結構和模式的潛能,為紐結理論和對稱性研究帶來重大突破。

在數學領域,人工智能可以作為一種有價值的工具,為已有的猜想找到反例、加速計算、檢測存在於數學對象的結構等等。現在,新發表的這項工作通過探索兩種基本的數學概念——拓撲學中的紐結以及排列,首次證明了人工智能也可以應用於發現數學研究最前沿的定理和猜想上。

紐結不僅可以吿訴我們一根繩子能有多少種纏繞方式,而且還與量子場論、非歐幾里得幾何等有着驚人的聯繫。代數、幾何和量子理論都對紐結都有其各自獨特的視角,而一個長期存在的迷思是,這些不同分支是如何聯繫的?比如從紐結的幾何中,我們可以獲得哪些與代數有關的信息?

在新的研究中,研究人員認為一個紐結的雙曲不變量和代數不變量之間存在着某種未被發現的關係。為了尋找這種關聯,他們訓練了一個深度學習模型,驚訝地發現了一種與紐結的幾何形狀直接相關的特殊代數量——符號差(σ,signature)。在此之前,數學家已知這個量與紐結的一個重要信息有關,但不知道它與雙曲幾何有關。

通過使用機器學習的歸因技術,他們還發現了一個新的概念——自然坡度(natural slope),它與一個一直以來都被忽視了的關於結構的重要信息有關。現在,研究人員通過研究紐結的結構,證實了這種意想不到關係確實存在於不同的數學領域之間,首次在這些不同的數學分支之間建立起了一些關聯。

在和排列有關的研究中,他們發現了一個與排列有關的猜想的新公式。這是表示論中的組合不變性猜想,它説的是在某些有向圖形和多項式之間,應該存在某種關係。這個猜想已經困擾數學家們數十年之久。

通過使用深度學習技術,研究人員確信了這種關係的存在,並確定了它可能與被稱為破碎二面體區間和極值反射的結構有關。有了這些知識,研究團隊中的數學家就能推演出一個算法來解決組合不變性猜想。現在,他們已經在300多萬個實例中對新的算法進行了計算驗證。

這是機器學習首次作出的重大數學發現,它們表明機器學習是可以通過監督式學習來檢測模式的存在,再通過機器學習的歸因技術來洞察這些模式,激發對問題的直覺判斷,從而對數學研究產生助益的。

機器學習技術和人工智能系統的使用,為數學模式的識別和發現帶來了巨大的希望。即使深度學習仍然無法探測到某些類型的模式,但這些新的突破也為其他研究人員將人工智能用作為研究數學的工具帶來啟發。

在回憶拉馬努金時,數學家George Frederick James Temple曾感慨道:“數學的偉大進步不是靠邏輯,而是來自創造性的想象力。”我們期待看到,人工智能與數學家的合作,能夠進一步將人類對數學的直覺提升到新的高度。

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