手把手推導Back Propagation

語言: CN / TW / HK

 

撰文|月踏

 

BP(Back Propagation)是深度學習神經網路的理論核心,本文通過兩個例子展示手動推導BP的過程。

 

1

鏈式法則

 

鏈式法則是BP的核心,分兩種情況:

 

 

1. 一元方程

 

 

在一元方程的情況下,鏈式法則比較簡單,假設存在下面兩個函式:

 

 

那麼x的變化最終會影響到z的值,用數學符號表示如下: 

 

 

z對x的微分可以表示如下: 

 

 

2. 多元方程

 

在多元方程的情況下,鏈式法則稍微複雜一些,假設存在下面三個函式: 

 

 

因為s的微小變化會通過g(s)和h(s)兩條路徑來影響z的結果,這時z對s的微分可以表示如下: 

 

 

這就是鏈式法則的全部內容,後面用實際例子來推導BP的具體過程。

 

2

只有一個weight的簡單情況

 

做了一個簡單的網路,這可以對應到鏈式法則的第一種情況,如下圖所示:

圖1

 

其中圓形表示葉子節點,方塊表示非葉子節點,每個非葉子節點的定義如下,訓練過程中的前向過程會根據這些公式進行計算: 

 

 

這個例子中,我們是想更新w1、b1、w2三個引數值,假如用lr表示learning rate,那麼它們的更新公式如下: 

 

 

在訓練開始之前,b1、w1、w2都會被初始化成某個值,在訓練開始之後,引數根據下面兩個步驟來進行更新:

 

  1. 先進行一次前向計算,這樣可以得到y1、y2、y3、loss的值

  2. 再進行一次反向計算,得到每個引數的梯度值,進而根據上面的公式(13)、(14)、(15)來更新引數值

 

下面看下反向傳播時的梯度的計算過程,因為梯度值是從後往前計算的,所以先看w2的梯度計算: 

 

 

再繼續看w1的梯度計算: 

 

 

最後看b1的梯度計算: 

 

 

 把w2、w1、b1的梯度計算出來之後,就可以按照公式(13)、(14)、(15)來更新引數值了,下面用OneFlow按照圖1搭建一個對應的網路做實驗,程式碼如下:

 

import oneflow as ofimport oneflow.nn as nnimport oneflow.optim as optim
class Sample(nn.Module):    def __init__(self):        super(Sample, self).__init__()        self.w1 = of.tensor(10.0, dtype=of.float, requires_grad=True)        self.b1 = of.tensor(1.0, dtype=of.float, requires_grad=True)        self.w2 = of.tensor(20.0, dtype=of.float, requires_grad=True)        self.loss = nn.MSELoss()
    def parameters(self):        return [self.w1, self.b1, self.w2]
    def forward(self, x, label):        y1 = self.w1 * x + self.b1        y2 = y1 * self.w2        y3 = 2 * y2        return self.loss(y3, label)
model = Sample()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)data = of.tensor(1.0, dtype=of.float)label = of.tensor(500.0, dtype=of.float)
loss = model(data, label)print("------------before backward()---------------")print("w1 =", model.w1)print("b1 =", model.b1)print("w2 =", model.w2)print("w1.grad =", model.w1.grad)print("b1.grad =", model.b1.grad)print("w2.grad =", model.w2.grad)loss.backward()print("------------after backward()---------------")print("w1 =", model.w1)print("b1 =", model.b1)print("w2 =", model.w2)print("w1.grad =", model.w1.grad)print("b1.grad =", model.b1.grad)print("w2.grad =", model.w2.grad)optimizer.step()print("------------after step()---------------")print("w1 =", model.w1)print("b1 =", model.b1)print("w2 =", model.w2)print("w1.grad =", model.w1.grad)print("b1.grad =", model.b1.grad)print("w2.grad =", model.w2.grad)optimizer.zero_grad()print("------------after zero_grad()---------------")print("w1 =", model.w1)print("b1 =", model.b1)print("w2 =", model.w2)print("w1.grad =", model.w1.grad)print("b1.grad =", model.b1.grad)print("w2.grad =", model.w2.grad)

 

這段程式碼只跑了一次forward和一次backward,然後呼叫step更新了引數資訊,最後呼叫zero_grad來對這一輪backward算出來的梯度資訊進行了清零,執行結果如下:

 

------------before backward()---------------w1 = tensor(10., requires_grad=True)b1 = tensor(1., requires_grad=True)w2 = tensor(20., requires_grad=True)w1.grad = Noneb1.grad = Nonew2.grad = None------------after backward()---------------w1 = tensor(10., requires_grad=True)b1 = tensor(1., requires_grad=True)w2 = tensor(20., requires_grad=True)w1.grad = tensor(-4800.)b1.grad = tensor(-4800.)w2.grad = tensor(-2640.)------------after step()---------------w1 = tensor(34., requires_grad=True)b1 = tensor(25., requires_grad=True)w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)w1.grad = tensor(-4800.)b1.grad = tensor(-4800.)w2.grad = tensor(-2640.)------------after zero_grad()---------------w1 = tensor(34., requires_grad=True)b1 = tensor(25., requires_grad=True)w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True)w1.grad = tensor(0.)b1.grad = tensor(0.)w2.grad = tensor(0.)

 

3

以conv為例的含有多個weights的情況

 

用一個非常簡單的conv來舉例,這個conv的各種屬性如下:

 

 

如下圖所示:

 

圖2

 

假定這個例子中的網路結構如下圖:

 

圖3

 

在這個簡單的網路中,z節點表示一個avg-pooling的操作,kernel是2x2,loss採用均方誤差,下面是對應的公式:

 

 

前傳部分同上一節一樣,直接看反傳過程,目的是為了求w0、w1、w2、w3的梯度,並更新這四個引數值,以下是求w0梯度的過程: 

 

 

下面是求w1、w2、w3梯度的過程類似,直接寫出結果:

 

 

最後再按照下面公式來更新引數即可: 

 

 

用OneFlow按照圖3來搭建一個對應的網路做實驗,程式碼如下:

 

 
import oneflow as ofimport oneflow.nn as nnimport oneflow.optim as optim
class Sample(nn.Module):    def __init__(self):        super(Sample, self).__init__()        self.op1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(2,2), bias=False)        self.op2 = nn.AvgPool2d(kernel_size=(2,2))        self.loss = nn.MSELoss()
    def forward(self, x, label):        y1 = self.op1(x)        y2 = self.op2(y1)        return self.loss(y2, label)
model = Sample()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005)data = of.randn(1, 1, 3, 3)label = of.randn(1, 1, 1, 1)
loss = model(data, label)print("------------before backward()---------------")param = model.parameters()print("w =", next(param))loss.backward()print("------------after backward()---------------")param = model.parameters()print("w =", next(param))optimizer.step()print("------------after step()---------------")param = model.parameters()print("w =", next(param))optimizer.zero_grad()print("------------after zero_grad()---------------")param = model.parameters()print("w =", next(param))

 

輸出如下(裡面的input、param、label的值都是隨機的,每次執行的結果會不一樣):

 

------------before backward()---------------w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583],          [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after backward()---------------w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583],          [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after step()---------------w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642],          [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)------------after zero_grad()---------------w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642],          [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)

 

參考資料:

1.http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses.html

2.https://speech.ee.ntu.edu.tw/~hylee/index.php

3.https://www.youtube.com/c/HungyiLeeNTU

 

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