Python 浮點數的冷知識

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本週的PyCoder's Weekly上分享了一篇小文章,它裡面提到的冷知識很有意思,我稍作補充,分享給大家。

它提到的部分問題,讀者們可以先思考下:

  • 若兩個元組相等,即 a==b 且 a is b,那麼相同索引的元素(如a[0] 、b[0])是否必然相等?
  • 若兩個物件的 hash 結果相等,即 hash(a) == hash(b),那麼它們是否必然相等呢?
    答案當然都為否(不然就不叫冷知識了),大家可以先嚐試回答一下,然後再往下看。

好了,先來看看第一個問題。兩個相同的元組 a、b,它們有如下的關係:

>>> a = (float('nan'),)
>>> b = a
>>> a   # (nan,)
>>> b   # (nan,)

>>> type(a), type(b)
(<type 'tuple'>, <type 'tuple'>)

>>> a == b
True

>>> a is b  # 即 id(a) == id(b)
True

>>> a[0] == b[0]
False

以上程式碼表明:a 等於 b(型別、值與 id 都相等),但是它們的對位元素卻不相等。

兩個元組都只有一個元素(逗號後面沒有別的元素,這是單元素的元組的表示方法,即 len(a)==1 )。float() 是個內建函式,可以將入參構造成一個浮點數。

為什麼會這樣呢?先查閱一下文件,這個內建函式的解析規則是:

sign           ::=  "+" | "-"
infinity       ::=  "Infinity" | "inf"
nan            ::=  "nan"
numeric_value  ::=  floatnumber | infinity | nan
numeric_string ::=  [sign] numeric_value

它在解析時,可以解析前後的空格、字首的加減號(+/-)、浮點數,除此之外,還可以解析兩類字串(不區分大小寫):"Infinity"或"inf",表示無窮大數;“nan”,表示不是數(not-a-number),確切地說,指的是除了數以外的所有東西。

前面分享的第一個冷知識就跟“nan”有關,作為整體,兩個元組相等,但是它們唯一的元素卻不相等。之所以會這樣,因為“nan”表示除了數以外的東西,它是一個範圍,所以不可比較。

作為對比,我們來看看兩個“無窮大的浮點數”是什麼結果:

>>> a = (float('inf'),)
>>> b = a
>>> a   # (inf,)
>>> b   # (inf,)

>>> a == b  # True
>>> a is b  # True
>>> a[0] == b[0]  # True

注意最後一次比較,它跟前面的兩個元組恰好相反,由此,我們可以得出結論:兩個無窮大的浮點數,數值相等,而兩個“不是數的東西”,數值不相等。

化簡一下,可以這樣看:

>>> a = float('inf')
>>> b = float('inf')
>>> c = float('nan')
>>> d = float('nan')

>>> a == b  # True
>>> c == d  # False

以上就是第一個冷知識的揭祕。接著看第二個:

>>> hash(float('nan')) == hash(float('nan'))
True

前面剛說了兩個“不是數的東西”不相等,這裡卻顯示它們的雜湊結果相等,這挺違背常理的。

我們可以推理出一條簡單的結論:不相等的兩個物件,其雜湊結果可能相等。

原因在於,hash(float('nan')) 的結果等於 0,它是個固定值,作比較時當然就相等了。

其實,關於 hash() 函式,還埋了一個彩蛋:

>>> hash(float('inf'))  # 314159
>>> hash(float('-inf')) # -314159

有沒有覺得這個數值很熟悉啊?它正是圓周率的前五位 3.14159,去除小數點後的結果。在早期的 Python 版本中,負無窮大數的雜湊結果其實是 -271828,正是取自於自然對數 e。這兩個數都是硬編碼在 Python 直譯器中的,算是某種致敬吧。

由於 float('nan') 的雜湊值相等,這通常意味著它們不可以作為字典的不同鍵值,但是事實卻出人意料:

>>> a = {float('nan'): 1, float('nan'): 2}
>>> a
{nan: 1, nan: 2}

# 作為對比:
>>> b = {float('inf'): 1, float('inf'): 2}
>>> b
{inf: 2}

如上所示,兩個 nan 鍵值在表示上一模一樣(注意,它們沒有用引號括起來),它們可以共存,而 inf 卻只能歸併成一個,再次展示出了 nan 的神奇。

好了,兩個很冷的小知識分享完畢,背後的原因都在於 float() 取浮點數時,Python 允許了 nan(不是數)的存在,它表示不確切的存在,所以導致了這些奇怪的結果。

最後,我們作下小結:

  • 包含 float('nan') 的兩個元組,當做整體作比較時,結果相等;兩個相等的元組,其對位的元素可能不相等
  • float('nan') 表示一個“不是數”的東西,它本身不是確定值,兩個物件作比較時不相等,但是其雜湊結果是固定值,作比較時相等;可用作字典的鍵值,而且是不衝突的鍵值
  • float('inf') 表示無窮大的浮點數,可看作確定的值,兩個物件做比較時相等,其雜湊結果也相等;可用作字典的鍵值,但是會產生衝突
  • float('nan') 的雜湊結果為 0,float('inf') 的雜湊結果為 314159

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