破解黎曼猜想的新思路

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黎曼ζ函數(ζ,讀作zeta)是一個看似簡單且普遍存在的函數,自19世紀以來,這個函數一直困擾着數學家,與之相關的 黎曼猜想 也成了位列千禧年大獎難題的未解之謎之一。

最近,在《物理評論快報》刊登的一篇論文中,物理學家 Grant Remmen 闡明瞭他運用物理學的思維,發展出了一種可以探索ζ函數的許多古怪之處的方法。在這種新的方法中,他將黎曼ζ函數的許多重要性質都轉化為 量子場論 。這意味着現在我們可以利用物理領域的工具來研究這個神祕而又奇怪的函數,甚至可能帶領我們更進一步地接近黎曼猜想的證明。

黎曼猜想

在數論領域,ζ函數是一個隨處可見的數學函數,它以一種無窮的調和級數的形式存在。

ζ(s)函數,s代表函數中的指數變量,ζ(2)指的就是級數的平方和,ζ(4)是級數的四次方和,以此類推。

當s>1時,ζ函數是收斂的,它會收斂到某個有限數值。

1859年,數學家 黎曼 (Bernhard Riemann)開始思考:如果代入ζ函數中的s是 複數 ,會發生什麼?他將ζ函數擴展到了複平面,發現ζ函數只有在s的實部大於1時才是收斂的。

為了將ζ函數擴展到複平面的其餘部分,黎曼使用了複分析中的一種被稱為 解析延拓 的技術。解析延拓的關鍵在於,實際上要有兩個函數在同時運作,一個是原始的ζ函數,它的運作範圍有限,即僅限於s的實部大於1的範圍;另一個是一個全新的、定義域被擴展了的函數—— 黎曼ζ函數: 當ζ函數收斂時,黎曼ζ函數的值等同於原始的ζ函數;當s的實部小於1時,黎曼ζ函數的值就等於由s處的級數定義的函數的解析延拓。(注:ζ函數無法被擴展到整個複平面,它在s的實部等於1時沒有意義。)

在複平面上被擴展了定義域的ζ函數,函數可以穿過原點。| 圖片素材來源:Grant Remmen, Harrison Tasoff

通過擴展函數的域,黎曼發現在新的域裏,函數可以穿過原點。這意味着當對函數輸入一些特定的值時,函數值為0,這些值被稱為 ζ零點 。比如所有的負偶數都是ζ零點。

不過,這些所謂的“ 平凡零點 ”並不是數學家所不感興趣的,黎曼所在意的是那些被稱為“ 非平凡零點 ”的輸入,因為他注意到, 所有的非平凡零點似乎都處於一條直線上。

函數ζ黎曼認為所有非平凡零點都位於一條直線上。|圖片參考來源:新原理研究所

於是,黎曼提出假設,認為這種模式適用於所有的非平凡零點,具體來説,黎曼猜想説的是: 所有非平凡零點都位於一條直線上, 也就是在複平面上s的實部等於1/2的地方

現在,這一猜想已經在大量例子中都得到了證實,但這仍不足以證明猜想的成立。

量子場論引發的思考

Remmen的日常研究工作並不專注於破解數學中的大問題,而是試圖解決與量子引力、弦理論和黑洞有關的重大問題。 量子場論 是他的專長之一,該理論將 狹義相對論量子力學 結合了起來描述以光速或接近光速運動的粒子的行為。

Remmen意識到,在量子場論中,一個被稱為 散射振幅 的概念與黎曼ζ函數有許多相同的特徵。散射振幅編碼了量子力學中的粒子相互作用的概率。通常,它適用於動量是複數的情況,它在複平面上有着很好的性質。在複平面上,它們圍繞着的每一點都是 解析的 (即可以表示為級數),除了一組都在一條直線上的 極點 (不能用級數表示的點)之外, 這與黎曼ζ函數的非平凡零點似乎也都在一條直線上相似

圖中所示的是Remmen的散射振幅,它能將黎曼ζ函數轉化為量子場論的語言。| 圖片來源:Grant Remmen

因此,Remmen想知道,在這種表面上的相似性背後,是否有存在什麼真實的含義。

ζ函數的量子場論版

Remmen想要發展出一種方法,可以將量子系統中的散射振幅映射到黎曼ζ函數的數學特徵上。他考慮的是一個量子粒子碰撞系統,用涵蓋了粒子在散射過程中的能量、動量和軌跡的變量來描述粒子。利用這些變量,他在ζ函數的基礎上,構建了一個具有散射振幅的所有特徵的數學函數。

Remmen的散射振幅描述了兩個無質量粒子通過交換無窮個大質量粒子進行相互作用。在他的函數中, 極點對應於每個中間粒子的質量,無窮多個這樣的極點對應於黎曼ζ函數中的非平凡零點

黎曼猜想假設ζ函數的非平凡零點都具有等於1/2的實部,把這個轉化到Remmen的模型中,意味着所有振幅的極點都是實數。 也就是説如果有人能證明Remmen的函數描述了這樣一個一致的量子場論,即質量是實數而非虛數,那麼他就證明了黎曼猜想

ζ函數的量子版

Remmen的函數將黎曼猜想帶入了科學和數學的另一個領域,為數學家提供了強大的工具。它表明不僅黎曼猜想中存在這種對應關係,而且黎曼ζ函數中還有許多其他屬性也與散射振幅的物理性質相對應。例如,Remmen已經用物理學的方法發現了一些與ζ函數相關的數學恆等式。

現在,Remmen希望利用物理學中的散射振幅可以更多地瞭解ζ函數。這種方法為或許能夠為證明這個偉大的猜想開闢一條新的道路。而且,在證明這個振幅的確來自於一個合理的量子場理論時所能帶來的新思路,也將為我們提供充分理解ζ函數所需要的工具。

現在,Remmen構建的是相互作用中最主要的組成部分,還有無窮多個包含了那些小的相互作用的部分,那些“環級振幅”將會是未來研究的主題。

# 創作團隊:

撰文:小雨

設計/排版:雯雯

# 參考來源:

https://www.news.ucsb.edu/2022/020520/quantum-zeta-epiphany

https://physics.aps.org/articles/v14/s157

# 圖片來源:

封面圖:新原理研究所

首圖:Grant Remmen

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