手把手推導Back Propagation

語言: CN / TW / HK

撰文|月踏

BP(Back Propagation)是深度學習神經網路的理論核心,本文通過兩個例子展示手動推導BP的過程。

1

鏈式法則

鏈式法則是BP的核心,分兩種情況:

(1)一元方程

在一元方程的情況下,鏈式法則比較簡單,假設存在下面兩個函式:

那麼x的變化最終會影響到z的值,用數學符號表示如下:

z對x的微分可以表示如下:

(2)多元方程

在多元方程的情況下,鏈式法則稍微複雜一些,假設存在下面三個函式:

因為s的微小變化會通過g(s)和h(s)兩條路徑來影響z的結果,這時z對s的微分可以表示如下:

這就是鏈式法則的全部內容,後面用實際例子來推導BP的具體過程。

2

只有一個weight的簡單情況

做了一個簡單的網路,這可以對應到鏈式法則的第一種情況,如下圖所示:

圖1

其中圓形表示葉子節點,方塊表示非葉子節點,每個非葉子節點的定義如下,訓練過程中的前向過程會根據這些公式進行計算:

這個例子中,我們是想更新w1、b1、w2三個引數值,假如用lr表示learning rate,那麼它們的更新公式如下:

在訓練開始之前,b1、w1、w2都會被初始化成某個值,在訓練開始之後,引數根據下面兩個步驟來進行更新:

  1. 先進行一次前向計算,這樣可以得到y1、y2、y3、loss的值
  2. 再進行一次反向計算,得到每個引數的梯度值,進而根據上面的公式(13)、(14)、(15)來更新引數值

下面看下反向傳播時的梯度的計算過程,因為梯度值是從後往前計算的,所以先看w2的梯度計算:

再繼續看w1的梯度計算:

最後看b1的梯度計算:

把w2、w1、b1的梯度計算出來之後,就可以按照公式(13)、(14)、(15)來更新引數值了,下面用OneFlow按照圖1搭建一個對應的網路做實驗,程式碼如下:

``` import oneflow as of import oneflow.nn as nn import oneflow.optim as optim

class Sample(nn.Module): def init(self): super(Sample, self).init() self.w1 = of.tensor(10.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.b1 = of.tensor(1.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.w2 = of.tensor(20.0, dtype=of.float, requires_grad=True) self.loss = nn.MSELoss()

def parameters(self):
    return [self.w1, self.b1, self.w2]

def forward(self, x, label):
    y1 = self.w1 * x + self.b1
    y2 = y1 * self.w2
    y3 = 2 * y2
    return self.loss(y3, label)

model = Sample()

optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005) data = of.tensor(1.0, dtype=of.float) label = of.tensor(500.0, dtype=of.float)

loss = model(data, label) print("------------before backward()---------------") print("w1 =", model.w1) print("b1 =", model.b1) print("w2 =", model.w2) print("w1.grad =", model.w1.grad) print("b1.grad =", model.b1.grad) print("w2.grad =", model.w2.grad) loss.backward() print("------------after backward()---------------") print("w1 =", model.w1) print("b1 =", model.b1) print("w2 =", model.w2) print("w1.grad =", model.w1.grad) print("b1.grad =", model.b1.grad) print("w2.grad =", model.w2.grad) optimizer.step() print("------------after step()---------------") print("w1 =", model.w1) print("b1 =", model.b1) print("w2 =", model.w2) print("w1.grad =", model.w1.grad) print("b1.grad =", model.b1.grad) print("w2.grad =", model.w2.grad) optimizer.zero_grad() print("------------after zero_grad()---------------") print("w1 =", model.w1) print("b1 =", model.b1) print("w2 =", model.w2) print("w1.grad =", model.w1.grad) print("b1.grad =", model.b1.grad) print("w2.grad =", model.w2.grad) ```

這段程式碼只跑了一次forward和一次backward,然後呼叫step更新了引數資訊,最後呼叫zero_grad來對這一輪backward算出來的梯度資訊進行了清零,執行結果如下:

------------before backward()--------------- w1 = tensor(10., requires_grad=True) b1 = tensor(1., requires_grad=True) w2 = tensor(20., requires_grad=True) w1.grad = None b1.grad = None w2.grad = None ------------after backward()--------------- w1 = tensor(10., requires_grad=True) b1 = tensor(1., requires_grad=True) w2 = tensor(20., requires_grad=True) w1.grad = tensor(-4800.) b1.grad = tensor(-4800.) w2.grad = tensor(-2640.) ------------after step()--------------- w1 = tensor(34., requires_grad=True) b1 = tensor(25., requires_grad=True) w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True) w1.grad = tensor(-4800.) b1.grad = tensor(-4800.) w2.grad = tensor(-2640.) ------------after zero_grad()--------------- w1 = tensor(34., requires_grad=True) b1 = tensor(25., requires_grad=True) w2 = tensor(33.2000, requires_grad=True) w1.grad = tensor(0.) b1.grad = tensor(0.) w2.grad = tensor(0.)

3

以conv為例的含有多個weights的情況

用一個非常簡單的conv來舉例,這個conv的各種屬性如下:

如下圖所示:

圖2

假定這個例子中的網路結構如下圖:

圖3

在這個簡單的網路中,z節點表示一個avg-pooling的操作,kernel是2x2,loss採用均方誤差,下面是對應的公式:

前傳部分同上一節一樣,直接看反傳過程,目的是為了求w0、w1、w2、w3的梯度,並更新這四個引數值,以下是求w0梯度的過程:

下面是求w1、w2、w3梯度的過程類似,直接寫出結果:

最後再按照下面公式來更新引數即可:

用OneFlow按照圖3來搭建一個對應的網路做實驗,程式碼如下:

``` import oneflow as of import oneflow.nn as nn import oneflow.optim as optim

class Sample(nn.Module): def init(self): super(Sample, self).init() self.op1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=1, kernel_size=(2,2), bias=False) self.op2 = nn.AvgPool2d(kernel_size=(2,2)) self.loss = nn.MSELoss()

def forward(self, x, label):
    y1 = self.op1(x)
    y2 = self.op2(y1)
    return self.loss(y2, label)

model = Sample()

optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.005) data = of.randn(1, 1, 3, 3) label = of.randn(1, 1, 1, 1)

loss = model(data, label) print("------------before backward()---------------") param = model.parameters() print("w =", next(param)) loss.backward() print("------------after backward()---------------") param = model.parameters() print("w =", next(param)) optimizer.step() print("------------after step()---------------") param = model.parameters() print("w =", next(param)) optimizer.zero_grad() print("------------after zero_grad()---------------") param = model.parameters() print("w =", next(param)) ```

輸出如下(裡面的input、param、label的值都是隨機的,每次執行的結果會不一樣):

------------before backward()--------------- w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583], [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>) ------------after backward()--------------- w = tensor([[[[ 0.2621, -0.2583], [-0.1751, -0.0839]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>) ------------after step()--------------- w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642], [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>) ------------after zero_grad()--------------- w = tensor([[[[ 0.2587, -0.2642], [-0.1831, -0.0884]]]], dtype=oneflow.float32, grad_fn=<accumulate_grad>)

參考資料:

1.http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses.html

2.https://speech.ee.ntu.edu.tw/~hylee/index.php

3.https://www.youtube.com/c/HungyiLeeNTU

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